TAREA1: Ejercicios del Capitulo 3

Ejercicio 3.4 – 19:

Slim Down fabrica una línea de bebidas nutritivas para reducción de peso. Uno de sus productos es una malteada como una comida completa. La malteada contiene varios ingredientes. En la tabla se da parte de la información de estos ingredientes.

Los requerimientos nutritivos son los siguientes.

La bebida debe tener un total de 380 a 420 calorías (inclusive). No más de 20% de las calorías totales debe venir en grasas. Debe tener al menos 50 mg de contenido vitamínico. Para el sabor, debe haber al menos 2 cucharadas de saborizante de fresa por cada cucharada de endulzante artificial. Por último, para que esté espeso, debe haber justo 15 mg de harinas en la bebida.

La gerencia desea seleccionar la cantidad de cada ingrediente para la bebida que minimice el costo al tiempo que cumpla con los requerimientos anteriores.

a)    a).  Formule un modelo de Programación Lineal.

b)    b).  Resuelva el modelo por el método simplex.

Solución:

a)   

a).  Entonces tenemos las siguientes variables:

X1= Cucharada de Sabor a fresa.

X2= Cucharada  de Crema.

X3= Cucharada Suplemento Vitamínico.

X4= Cucharada de Endulzante Artificial.

X5= Cucharada de Agente Espesante.

Para minimizar costo minimizamos la función objetivo:

Minimizamos  Z =10*X1 + 8*X2 + 25*X3 + 15*X4 + 6*X5

Sujeta a:         50*X1 + 100*X2 + 120*X4 + 80*X5 ≥ 380

                        50*X1 + 100*X2 + 120*X4 + 80*X5 ≤ 420

                        X1 + 75*X2 + 30*X5 ≤ 0.2 (50*X1 + 100*X2 + 120*X4 + 80*X5)     ó     -9*X1 + 


55*X2 – 24*X4 + 14*X5 ≤ 0

                        20*X1 + 50*X3 + 2*X5 ≥ 50

                        X1 ≥ 2*X4    ó     X1 – 2*X4 ≥ 0

                        3*X1 + 8*X2 + X3 + 2*X4 + 25*X5 = 15

            y          X1, X2, X3, X4, X5 ≥ 0

b)    Ahora resolviendo el modelo por el método simplex.
 b).



            Tenemos:

      

      Tabla #1

                    x1        x2     x3      x4     x5      s1   s2    s3    s4    s5    s6    -z           

                    50     100    0      120    80     -1     0      0      0      0      0      0      380   

                    50     100    0      120    80      0      1      0      0      0      0      0      420   

                    -9       55     0      -24     14      0      0      1      0      0      0      0      0     

                    20       0      50       0       2      0      0      0      -1     0      0      0      50    

                    1         0      0        -2       0      0      0      0      0      -1     0      0      0     

                    3         8      1         2      25     0      0      0      0      0      1      0      15    

                   10       8      25      15       6      0      0      0      0      0      0      1      0      

       Tabla #2

                 x1         x2       x3       x4         x5             s1         s2      s3      s4       s5       s6       -z               

             0.417    0.833        0        1        0.667    -0.00833        0        0        0        0        0        0        3.17           

                 0           0         0        0           0                1           1        0        0        0        0        0        40      

                 1          75       0         0          30              -0.2         0        1        0        0        0        0        76      

                20         0         50        0           2                0           0        0        -1       0        0        0        50      

              1.83      1.67        0         0        1.33        -0.0167        0        0        0      -1         0        0        6.33    

              2.17      6.33       1          0        23.7         0.0167       0        0        0        0        1        0        8.67    

              3.75      -4.5       25         0         -4            0.125        0        0        0        0        0        1        -47.5    

      Tabla #3

         x1       x2         x3       x4       x5             s1        s2       s3       s4       s5       s6       -z               

         0.417    0.833    0        1      0.667    -0.00833       0        0          0        0        0        0        3.17     
           0        0          0         0        0               1          1         0          0        0        0        0        40      

           1        75       0          0        30           -0.2         0        1         0          0        0        0        76      

          0.4       0        1          0        0.04           0          0        0       -0.02       0        0        0        1       

         1.83     1.67     0          0        1.33     -0.0167       0        0          0        -1         0        0        6.33    

         1.77     6.33     0          0        23.6     0.0167        0        0        0.02       0        1        0        7.67    

          -6.25    -4.5     0          0        -5       0.125           0        0        0.5         0        0        1        -72.5   

     Tabla #4

x1       x2       x3       x4       x5              s1       s2       s3          s4       s5       s6       -z                                           0.833    -1.04    1        0.625    -0.00833     0        0        0.0208     0        0          0        2.13    

0        0        0        0           0              1         1        0            0         0        0          0        40      

        75       -2.5     0         29.9         -0.2        0        1          0.05       0        0          0        73.5    

1        0        2.5      0         0.1            0          0        0        -0.05        0        0          0        2.5     

0      1.67    -4.58     0       1.15       -0.0167      0        0        0.0917     -1        0          0        1.75    

0      6.33     -4.42    0        23.5       0.0167      0        0        0.108       0        1           0        3.25    

        -4.5     15.6     0        -4.38       0.125       0        0        0.188        0        0          1        -56.9    

Tabla #5

x1      x2           x3        x4        x5          s1        s2     s3          s4        s5       s6       -z             

0       0       -0.461        1       -2.46   -0.0105      0       0       0.00658     0    -0.132      0       1.7    

0       0            0          0           0            1        1       0            0          0         0       0       40     

0       0          49.8        0       -248      -0.397      0       1       -1.23         0       -11.8     0       35     

1       0           2.5         0        0.1          0          0       0       -0.05         0         0         0       2.5    

0       0         -3.42        0       -5.02     -0.0211    0       0       0.0632      -1      -0.263     0       0.895  

0       1       -0.697        0        3.7      0.00263     0      0       0.0171       0       0.158     0       0.513  

0       0         12.5        0        12.3       0.137       0      0       0.264         0      0.711     1       -54.6   

Tabla #6

x1       x2           x3        x4       x5           s1       s2       s3       s4       s5           s6       -z               

0        0        -0.104      1     -1.94    -0.00833      0        0        0        0.104    -0.104     0        1.6     

0        0            0         0        0              1         1         0        0          0             0        0        40      

0        0          -17        0      -346     -0.808         0        1         0      -19.5         -17       0        52.5    

1        0        -0.208      0     -3.88    -0.0167        0        0         0      -0.792     -0.208     0        3.21    

0        0        -54.2        0     -79.5    -0.333          0       0         1        -15.8       -4.17     0        14.2    

0        1        0.229       0     5.06     0.00833        0       0         0        0.271    0.229      0        0.271   

0        0          26.8       0      33.3    0.225           0        0        0         4.19     1.81        1        -58.3   

Entonces la Solución Optima es: Z = 58.3; x1 = 3.208, x2 = 0.27, x3 = 0.0, x4 = 1.6, x5 = 0.0

Ósea que estas son las cantidades adecuadas para cada ingrediente, y para así obtener que bebida que minimice costo y al tiempo cumpla con los requerimientos específicos.

Nota: esta solución también se puede probar con Solver como se muestra en la figura: 

                  









Ejercicio 3.4 – 20:



Joyce y Marvin tienen una guardería. Ellos intentan decidir que dar a los niños de almuerzo. Desean mantener sus costos bajos, pero también deben cumplir con los requerimientos nutritivos para niños. Ya decidieron darles sándwiches de mantequilla de maní y mermelada y alguna combinación de galletas, leche y jugo de naranja. El contenido nutritivo de cada alimento y su costo se da en la siguiente tabla.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Los requerimientos nutritivos son los siguientes. Cada niño debe recibir de 400 a 600 calorías. No más de 30% de las calorías totales debe venir en grasas. Cada niño debe consumir al menos 60 mg de vitamina C y 12 g de proteína. Todavía más, por razones prácticas, cada niño necesita justo 2 rebanadas de pan (para un sandwich), al menos el doble de mantequilla de maní que de mermelada y al menos una tasa de liquido (leche y/o jugo de naranja).



Joyce y Marvin desean seleccionar las opciones de alimento para cada niño que minimice el costo mientras cumple con los requerimientos establecidos.


a) Formule un modelo de Programación Lineal.


b) Resuelva el modelo por el método simplex.


Solución:


a)

Entonces tenemos las siguientes variables:


X1= Rebanadas de Pan.
X2= Cucharada de Mantequilla de Maní.


X3= Cucharada de Mermelada de Fresa.


X4= Galletas Integrales.


X5= Tazas de leche.


X6= Tazas de jugo.



Para minimizar costo minimizamos la función objetivo:



Minimizamos z = 5x1 + 4x2 + 7x3 + 8x4 + 15x5 + 35x6


Sujeto a:


70x1 + 100x2 + 50x3 + 60x4 + 150x5 + 100x6 >= 400


70x1 + 100x2 + 50x3 + 60x4 + 150x5 + 100x6 <= 600


-11x1 + 45x2 - 15x3 + 2x4 + 25x5 - 30x6 <= 0


3x3 + 2x5 + 120x6 >= 60


3x1 + 4x2 + x4 + 8x5 + x6 >= 12


x1 = 2


x2 - 2x3 >= 0


x5 + x6 >= 1


y x1, x2, x3, x4, x5, x6 >= 0

b)


Ahora resolviendo el modelo por el método simplex.

Tabla #1




     x1   x2  x3 x4  x5   x6  s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9 -z
    

     70 100  50 60 150 100  -1  0    0  0   0   0  0    0  0   0 400
   

     70 100  50 60 150 100   0  1    0  0   0   0   0   0  0   0 600


    -11  45  -15  2   25  -30    0   0   1  0   0    0  0   0  0   0 0


      0   0      3  0    2   120   0    0   0 -1   0    0  0   0  0  0 60


      3   4      0  1    8     1     0    0   0  0  -1    0  0   0  0  0 12
 

     1    0      0   0   0     0     0    0   0  0   0    1   0   0  0  0 2


      0   1     -2   0   0     0     0    0   0  0   0    0   -1   0  0  0 0


      0   0      0   0   1     1     0    0   0  0   0    0    0  -1  0  0 1


     1    0      0   0   0     0     0    0   0  0   0    0    0   0  -1 0 2


      5   4      7   8  15    35    0    0   0  0   0    0    0   0   0 1 0


Tabla #2




x1 x2 x3 x4 x5 x6 s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9 -z


136 -170 140 48 0 280 -1 0 -6 0 0 0 0 0 0 0 400


136 -170 140 48 0 280 0 1 -6 0 0 0 0 0 0 0 600


-0.44 1.8 -0.6 0.08 1 -1.2 0 0 0.04 0 0 0 0 0 0 0 0


0.88 -3.6 4.2 -0.16 0 122 0 0 -0.08 -1 0 0 0 0 0 0 60


6.52 -10.4 4.8 0.36 0 10.6 0 0 -0.32 0 -1 0 0 0 0 0 12


1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2


0 1 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0


0.44 -1.8 0.6 -0.08 0 2.2 0 0 -0.04 0 0 0 0 -1 0 0 1


1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 2


11.6 -23 16 6.8 0 53 0 0 -0.6 0 0 0 0 0 0 1 0


     Tabla #3




x1 x2 x3 x4 x5 x6 s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9 -z


80 59.1 63.6 58.2 0 0 -1 0 -0.909 0 0 0 0 127 0 0 273


80 59.1 63.6 58.2 0 0 0 1 -0.909 0 0 0 0 127 0 0 473


-0.2 0.818 -0.273 0.0364 1 0 0 0 0.0182 0 0 0 0 -0.545 0 0 0.545


-23.6 96.5 -29.2 4.29 0 0 0 0 2.15 -1 0 0 0 55.6 0 0 4.36


4.4 -1.73 1.91 0.745 0 0 0 0     -0.127    0    -1    0    0   4.82    0 0     7.18


1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2


0 1 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0


0.2 -0.818 0.273 -0.0364 0 1 0 0 -0.0182 0 0 0 0 -0.455 0 0 0.455


1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 2


1 20.4 1.55 8.73 0 0 0 0 0.364 0 0 0 0 24.1 0 1 -24.1




Tabla #4




x1 x2 x3 x4 x5 x6 s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9 -z


134 -162 130 48.4 0 0 -1 0 -5.82 2.29 0 0 0 0 0 0 263


134 -162 130 48.4 0 0 0 1 -5.82 2.29 0 0 0 0 0 0 463


-0.431 1.76 -0.559 0.0784 1 0 0 0 0.0392 -0.0098 0 0 0 0 0 0 0.588


-0.424 1.74 -0.525 0.0771 0 0 0 0 0.0386 -0.018 0 0 0 1 0 0 0.0784


6.44 -10.1 4.44 0.374 0 0 0 0 -0.313 0.0866 -1 0 0 0 0 0 6.8


1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2


0 1 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0


0.00719 -0.0294 0.0343 -0.00131 0 1 0 0 -0.000654 -0.00817 0 0 0 0 0 0 0.49


1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 2


11.2 -21.4 14.2 6.87 0 0 0 0 -0.565 0.433 0 0 0 0 0 1 -26




Tabla #5




x1 x2 x3 x4 x5 x6 s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9 -z


0 48 38.1 40.6 0 0 -1 0 0.693 0.487 20.8 0 0 0 0 0 121


0 48 38.1 40.6 0 0 0 1 0.693 0.487 20.8 0 0 0 0 0 321


0 1.09 -0.262 0.103 1 0 0 0 0.0183 -0.00401 -0.0669 0 0 0 0 0 1.04


0 1.07 -0.232 0.102 0 0 0 0 0.018 -0.0123 -0.0658 0 0 1 0 0 0.526


1 -1.57 0.688 0.058 0 0 0 0 -0.0486 0.0134 -0.155 0 0 0 0 0 1.06


0 1.57 -0.688 -0.058 0 0 0 0 0.0486 -0.0134 0.155 1 0 0 0 0 0.944


0 1 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0


0 -0.0182 0.0294 -0.00172 0 1 0 0 -0.000304 -0.00827 0.00112 0 0 0 0 0 0.483


0 1.57 -0.688 -0.058 0 0 0 0 0.0486 -0.0134 0.155 0 0 0 -1 0 0.944


0 -3.88 6.46 6.22 0 0 0 0 -0.0203 0.282 1.74 0 0 0 0 1 -37.8




Tabla #6




x1 x2 x3 x4 x5 x6 s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9 -z


0 0 134 40.6 0 0 -1 0 0.693 0.487 20.8 0 48 0 0 0 121


0 0 134 40.6 0 0 0 1 0.693 0.487 20.8 0 48 0 0 0 321


0 0 1.92 0.103 1 0 0 0 0.0183 -0.00401 -0.0669 0 1.09 0 0 0 1.04


0 0 1.91 0.102 0 0 0 0 0.018 -0.0123 -0.0658 0 1.07 1 0 0 0.526


1 0 -2.44 0.058 0 0 0 0 -0.0486 0.0134 -0.155 0 -1.57 0 0 0 1.06


0 0 2.44 -0.058 0 0 0 0 0.0486 -0.0134 0.155 1 1.57 0 0 0 0.944


0 1 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0


0 0 -0.00695 -0.00172 0 1 0 0 -0.000304 -0.00827 0.00112 0 -0.0182 0 0 0 0.483


0 0 2.44 -0.058 0 0 0 0 0.0486 -0.0134 0.155 0 1.57 0 -1 0 0.944


0 0 -1.3 6.22 0 0 0 0 -0.0203 0.282 1.74 0 -3.88 0 0 1 -37.8


 
Tabla #7




x1 x2 x3 x4 x5 x6 s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9 -z


0 0 0 33.4 0 0 -1 0 -0.568 1.35 25.4 0 -27.2 -70.2 0 0 84.3


0 0 0 33.4 0 0 0 1 -0.568 1.35 25.4 0 -27.2 -70.2 0 0 284


0 0 0 0.00135 1 0 0 0 0.000239 0.00831 -0.000876 0 0.0143 -1 0 0 0.515


0 0 1 0.0533 0 0 0 0 0.0094 -0.00643 -0.0345 0 0.561 0.524 0 0 0.276


1 0 0 0.188 0 0 0 0 -0.0256 -0.00226 -0.239 0 -0.196 1.28 0 0 1.73


0 0 0 -0.188 0 0 0 0 0.0256 0.00226 0.239 1 0.196 -1.28 0 0 0.271


0 1 0 0.107 0 0 0 0 0.0188 -0.0129 -0.0689 0 0.122 1.05 0 0 0.551


0 0 0 -0.00135 0 1 0 0 -0.000239 -0.00831 0.000876 0 -0.0143 0.00364 0 0 0.485


0 0 0 -0.188 0 0 0 0 0.0256 0.00226 0.239 0 0.196 -1.28 -1 0 0.271


0 0 0 6.29 0 0 0 0 -0.0081 0.274 1.7 0 -3.15 0.679 0 1 -37.5




Tabla #8




x1 x2 x3 x4 x5 x6 s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9 -z


0 0 0 1 0 0 -0.0299 0 -0.017 0.0403 0.76 0 -0.814 -2.1 0 0 2.52


0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 200


0 0 0 0 1 0 0.0000405 0 0.000262 0.00826 -0.00191 0 0.0154 -1 0 0 0.512


0 0 1 0 0 0 0.00159 0 0.0103 -0.00857 -0.0749 0 0.604 0.635 0 0 0.141


1 0 0 0 0 0 0.00562 0 -0.0224 -0.00984 -0.382 0 -0.0424 1.67 0 0 1.25


0 0 0 0 0 0 -0.00562 0 0.0224 0.00984 0.382 1 0.0424 -1.67 0 0 0.745


0 1 0 0 0 0 0.00319 0 0.0206 -0.0171 -0.15 0 0.208 1.27 0 0 0.283


0 0 0 0 0 1 -0.0000405 0 -0.000262 -0.00826 0.00191 0 -0.0154 0.000794 0 0 0.488


0 0 0 0 0 0 -0.00562 0 0.0224 0.00984 0.382 0 0.0424 -1.67 -1 0 0.745


0 0 0 0 0 0 0.188 0 0.0987 0.0203 -3.08 0 1.97 13.9 0 1 -53.3






Tabla #9




x1 x2 x3 x4 x5 x6 s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9 -z


0 0 0 1 0 0 -0.0187 0 -0.0616 0.0208 0 0 -0.899 1.23 1.99 0 1.04


0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 200


0 0 0 0 1 0 0.0000125 0 0.000374 0.00831 0 0 0.0156 -1.01 -0.00498 0 0.516


0 0 1 0 0 0 0.00049 0 0.0147 -0.00664 0 0 0.613 0.307 -0.196 0 0.287


1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 2


0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0


0 1 0 0 0 0 0.00098 0 0.0294 -0.0133 0 0 0.225 0.615 -0.392 0 0.575


0 0 0 0 0 1 -0.0000125 0 -0.000374 -0.00831 0 0 -0.0156 0.00914 0.00498 0 0.484


0 0 0 0 0 0 -0.0147 0 0.0587 0.0257 1 0 0.111 -4.38 -2.62 0 1.95


0 0 0 0 0 0 0.143 0 0.279 0.0997 0 0 2.31 0.39 -8.06 1 -47.3




Tabla #10




x1 x2 x3 x4 x5 x6 s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9 -z


0 0 0 1 0 0 -0.0187 0 -0.0616 0.0208 0 -1.99 -0.899 1.23 0 0 1.04


0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 200


0 0 0 0 1 0 0.0000125 0 0.000374 0.00831 0 0.00498 0.0156 -1.01 0 0 0.516


0 0 1 0 0 0 0.00049 0 0.0147 -0.00664 0 0.196 0.613 0.307 0 0 0.287


1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2


0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0


0 1 0 0 0 0 0.00098 0 0.0294 -0.0133 0 0.392 0.225 0.615 0 0 0.575


0 0 0 0 0 1 -0.0000125 0 -0.000374 -0.00831 0 -0.00498 -0.0156 0.00914 0 0 0.484


0 0 0 0 0 0 -0.0147 0 0.0587 0.0257 1 2.62 0.111 -4.38 0 0 1.95


0 0 0 0 0 0 0.143 0 0.279 0.0997 0 8.06 2.31 0.39 0 1 -47.3


Entonces la Solución Optima es: Z = 47.3; x1 = 2, x2 = 0.575, x3 = 0.287, x4 = 1.04, x5 = 0.516, x6 = 0.484



Ósea que estas son las opciones de alimento para cada niño en cantidades adecuadas para así obtener el mínimo costo y al tiempo cumpla con los requerimientos específicos.






Nota: esta solución también se puede probar con Solver como se muestra en la figura: