INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL

La Programación lineal es un procedimiento matemático en el cual se resuelve un problema indeterminado, formulando unas ecuaciones lineales y optimizando (minimizar o maximizar) dicha función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que se expresan mediante un sistema de inecuaciones lineales.

 Por ejemplo:

Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas.
El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster.

El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €.

¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que éstos consigan una venta máxima?

1. Elección de las incógnitas.

 x = número de pantalones

y = número de chaquetas

2. Función objetivo

f(x,y)= 50x + 40y

3. Restricciones

Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:

                           pantalones   chaquetas   disponible

algodón                     1                1,5            750

poliéster                    2                1               1000


 x + 1.5y ≤ 750    entonces    2x+3y≤1500

2x + y ≤ 1000


Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restricciones más:

x ≥ 0
y ≥ 0

4. Hallar el conjunto de soluciones factibles

Tenemos que representar gráficamente las restricciones.

Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.

Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

Resolvemos gráficamente la inecuación: 2x +3y ≤ 1500, para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0).

2·0 + 3·0 ≤ 1 500

Como 0 ≤ 1 500 entonces el punto (0,0) se encuentra en el semiplano donde se cumple la desigualdad.

De modo análogo resolvemos 2x + y ≤ 1000.

2·0 + 0 ≤ 1 00

 La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto. éstos son las soluciones a los sistemas:


 2x + 3y = 1500; x = 0                         (0, 500)

2x + y = 1000; y = 0                             (500, 0)

2x + 3y =1500; 2x + y = 1000            (375, 250)

6. Calcular el valor de la función objetivo


En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.

f(x, y) = 50x + 40y

f(0, 500) = 50·0 + 40·500 = 20000 €

f(500, 0) = 50·500 + 40·0 = 25000 €

f(375, 250) = 50·375 + 40·250 = 28750 € Máximo


La solución óptima es fabricar 375 pantalones y 250 chaquetas para obtener un beneficio de 28750 €.